Raíces de ecuaciones Roots of

Raíces de ecuaciones Roots of equations
Sea Sea . . Los valores de x que hacen que y= 0 se denominan raíces de la ecuación. The values of x that make y = 0 are called roots of the equation. El teorema fundamental del álgebra indica que todo polinomio de grado n tiene n raíces. The fundamental theorem of algebra states that every polynomial of degree n has n roots. En el caso de las raíces reales, se tiene que corresponden a los valores x que hacen que la función corte el eje de las abscisas: In the case of real estate, it must correspond to x values that make the feature cut the x-axis:

Las raíces de un polinomio pueden ser reales o complejas. The roots of a polynomial can be real or complex. Si un polinomio tiene coeficientes If a polynomial has coefficients reales, entonces todas las raíces complejas siempre ocurrirán en pares conjugados complejos. real, then all the complex roots always occur in complex conjugate pairs. Por ejemplo, un polinomio cúbico tiene la siguiente forma general: For example, a cubic polynomial has the following general form:

El teorema fundamental del álgebra indica que un polinomio de grado n , tiene n raíces. The fundamental theorem of algebra states that a polynomial of degree n has n roots. En el caso del polinomio cúbico pueden darse los siguientes casos: In the case of cubic polynomial can be the following:
* Tres raíces reales distintas. Three distinct real roots.
* Una raíz real con multiplicidad 3. A real root with multiplicity 3.
* Una raíz real simple y una raíz real con multiplicidad 2. A simple real root and one real root with multiplicity 2.
* Una raíz real y un par conjugado complejo. One real root and a complex conjugate pair.
Ejemplo. Las raíces de los siguientes polinomios se resumen a continuación. Example. The roots of these polynomials are summarized below.
1. Tres raíces reales distintas: Three distinct real roots:

2. Una raíz real con multiplicidad 3: A real root with multiplicity 3:
3. Una raíz real simple y una raíz real con multiplicidad dos: A simple real root and one real root with multiplicity two:

4. Una raíz real y un par conjugado complejo: One real root and a complex conjugate pair:
Para su estudio, las funciones pueden clasificarse en algebraicas y trascendentales. For their study, the functions can be classified into algebraic and transcendental.
Funciones algebraicas Algebraic functions
Sea g=f(x) la función expresada como Let g = f (x) the function expressed

Donde f i es un polinomio de orden i en x. Where f i is a polynomial of order i in x. Los polinomios son un caso simple de funciones algebraicas que se representan generalmente como Polynomials are a simple case of algebraic functions that are usually represented as

Donde n es el orden del polinomio. Where n is the order of the polynomial.
Ejemplo. Example.
f 2 ( x ) = 1-2.37 x+ 7.5 x 2 f 2 (x) = 1-2.37 x + 7.5 x 2
f 6 ( x ) = 5 x 2 -x 3 + 7 x 6 f 6 (x) = 5 x 2-x 3 + 7 x 6
Funciones trascendentales Transcendental functions
Son aquellas que no son algebraicas. Are those that are not algebraic. Comprenden a las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras. They include the trigonometric, exponential, logarithmic, among others.
Ejemplo. Example.
Los métodos descritos en esta unidad requieren que la función sea diferenciable en el intervalo donde se apliquen. The methods described in this unit require that the function is differentiable in the range where they apply. Si los métodos se utilizan en funciones no diferenciables o discontinuas en algunos puntos, llegar al resultado dependerá, aleatoriamente , de que durante la aplicación del método no se toquen esos puntos. If the methods used in non-differentiable or discontinuous functions at some points, to reach the result will depend, at random, that during the implementation of the method do not touch those points.
Por otra parte, las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. On the other hand, the roots of the equations can be real or complex. Los métodos numéricos estándar para encontrar raíces pueden clasificarse en dos rubros: The standard numerical methods for finding roots can be classified into two categories:

1. La determinación de las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Determining the real roots of algebraic and transcendental equations. Las técnicas a emplear en estos casos se diseñaron con el fin de encontrar el valor de una raíz simple de acuerdo con un conocimiento previo de su posición aproximada. The techniques used in these cases were designed to find the value of a simple root in accordance with a prior knowledge of its approximate position.
2. La determinación de todas las raíces reales y complejas de un polinomio, para lo cual los métodos numéricos están diseñados específicamente para polinomios. The determination of all real and complex roots of a polynomial, for which numerical methods are designed specifically for polynomials. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de hacerlo sólo con una, dada la posición aproximada. Systematically determining all roots of polynomial rather than only one, given the approximate position.
Raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales Real roots of algebraic and transcendental equations
En general, los métodos para encontrar las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales se dividen en métodos de intervalos y en métodos abiertos. In general, the methods for finding the real roots of algebraic equations and transcendental methods are divided into intervals and open methods.
Los métodos de intervalos aprovechan el hecho de que una función en forma típica cambia de signo en la vecindad de una raíz. The interval methods exploit the fact that typically a function changes sign in the vicinity of a root. Reciben dicho nombre debido a que se necesita de dos valores iniciales que deben “encapsular” a la raíz. They get this name because it needs two initial values to be “encapsulated” to the root. A través de este tipo de métodos se va reduciendo gradualmente el tamaño del intervalo de manera que la aplicación repetida de los métodos siempre generan aproximaciones cada vez más cercanas al valor real de la raíz, por lo que se dice que son métodos convergentes . Through such methods will gradually reduce the size of the interval so that the repeated application of the methods always produce increasingly close approximations to the actual value of the root, so methods are said to be convergent.
Los métodos abiertos , en contraparte, se basan en fórmulas que requieren de un solo valor inicial x The open methods , in contrast, are based on formulas that require a single initial value x (aproximación inicial a la raíz). (Initial approach to the root). Algunas veces, estos métodos se alejan del valor real de la raíz conforme crece el número de iteraciones, es decir, divergen . Sometimes these methods away from the real value of the root grows the number of iterations, ie diverge.
En esta unidad se estudiarán un método de intervalo conocido como método de bisección y This unit will study a method known as interval bisection method and dos métodos abiertos: el método del punto fijo y el método de Newton- Raphson . open two methods: the fixed point method and the Newton-Raphson method.
2.1.1 Método de bisección Bisection method
Este método, también conocido como método de partición del intervalo, parte de una ecuación algebraica o trascendental f ( x ) y un intervalo [ x 1 , x 2 ], tal que f ( x 1 ) y f ( x 2 ) tienen signos contrarios, es decir, tal que existe por lo menos una raíz en ese intervalo. This method, also known as range partitioning method, part of an algebraic or transcendental equation f (x) and an interval [x 1, x 2] such that f (x 1) and f (x 2) have opposite signs , ie such that there is at least one root in that interval.
Una vez determinado el intervalo [ x 1 , x 2 ] y asegurada la continuidad de la función en dicho intervalo, se evalúa ésta en el punto medio x m Once the interval [x 1, x 2] and secured the continuity of function within this range, it is evaluated at the midpoint x m del intervalo. the interval. Si f ( x m ) y f ( x 1 ) tienen signos contrarios, se reducirá el intervalo de x 1 a x m , ya que dentro de estos valores se encuentra la raíz buscada. If f (x m) and f (x 1) have opposite signs, will reduce the range of x 1 to x m, and that within these values is the desired root. Si f ( x m ) y f ( x 1 ) tienen el mismo signo, se reducirá el intervalo de x m If f (x m) and f (x 1) have the same sign, will reduce the range of x m a x 2 . to x 2. Al repetir este proceso hasta lograr que la diferencia entre los dos últimos valores de x m será una buena aproximación de la raíz. By repeating this process to make the difference between the two values of x m is a good approximation of the root.
El algoritmo del método es el que sigue: The algorithm of the method is as follows:
1. Escoger los valores x 1 y x 2 del intervalo. Choosing values x 1 and x 2 of the interval.
2. Comprobar la existencia de una raíz en el intervalo [ x 1 , x 2 ] verificando que Checking the existence of a root in the interval [x 1, x 2] making sure . . De no ser así, será necesario elegir otros valores para x 1 y x 2 . Otherwise, it will be necessary to choose other values for x 1 and x 2.
3. Tomar Take y calcular and calculate . .
4. Si If =0 se encontró la raíz de la función (fin del método). = 0 is found the root of the function (end of method). De lo contrario, ir al paso 5. Otherwise, go to step 5.
5. Sea T Let T la tolerancia deseada (el margen de error aceptado). the desired tolerance (the margin of error). Si If <T se encontró una aproximación a la raíz con un margen de error menor a T (fin del método). <T was found closer to the root with a margin of error of less than T (end method). De lo contrario, ir al paso 6. Otherwise, go to step 6.
6. Si If , entonces hacer , Then do y repetir desde 3; de lo contrario, hacer and repeat from 3, otherwise, make y repetir desde 3. and repeat from 3.
Ejemplo. Determine la raíz real positiva de la siguiente función considerando una tolerancia de 0.001 utilizando el método de bisección. Example. Determine the positive real root of the following function considering a tolerance of 0.001 using the bisection method.

Solución. Solution.
En la gráfica de la función puede apreciarse que la raíz real positiva de la función se encuentra en el intervalo [1,2]: In the graph of the function can be seen that the positive real root of the function is in the interval [1,2]:

Por tal motivo, escogemos x 1 =1 y x 2 =2. For this reason, we choose x 1 = 1 and x 2 = 2. Al calcular When calculating y and tenemos que we have , es decir, efectivamente existe al menos una raíz en el intervalo. That is, in fact there is at least one root in the interval.

Ahora, calculamos el punto medio del intervalo Now, we calculate the midpoint of the interval

y evaluamos la función en ese punto and evaluate the function at that point
Como Like , es decir, no se ha encontrado la raíz y además , Ie has not been found and also the root es mayor a la tolerancia deseada, procedemos a calcular el producto is greater than the desired tolerance, we proceed to calculate the product : :

Esto es, That is, y entonces hacemos and then we

Repetimos el procedimiento partiendo del cálculo de We repeat the procedure based on a calculation of . .
Como puede observarse, el intervalo en el que se encuentra la raíz se ha reducido. As shown, the interval in which the root is reduced. Conforme se aplica el método el intervalo se va reduciendo hasta que este es tan pequeño que es muy cercano al valor real de la raíz. As the method applies interval is reduced until it is so small that is very close to the actual value of the root.
A continuación se presenta una tabla que resume los resultados del método. Below is a table summarizing the results of the method. Podemos apreciar que en la décima iteración We see that in the tenth iteration <T , <T, por lo que podemos concluir que una aproximación a la raíz es 1.32519532 con un margen de error del 0.1%. so we can conclude that an approximation to the root is 1.32519532 with an error margin of 0.1%.
i i 1 1 1 1 2 2 1.5 1.5 0.875 0875 -0.875 -0875 0.5 0.5 2 2 1 1 1.5 1.5 1.25 1.25 -0.296875 -0.296875 0.296875 0.296875 0.25 0.25 3 3 1.25 1.25 1.5 1.5 1.375 1375 0.22460938 0.22460938 -0.06668091 -0.06668091 0.125 0125 4 4 1.25 1.25 1.375 1375 1.3125 1.3125 -0.05151367 -0.05151367 0.01529312 0.01529312 0.0625 0.0625 5 5 1.3125 1.3125 1.375 1375 1.34375 1.34375 0.08261108 0.08261108 -0.0042556 -0.0042556 0.03125 0.03125 6 6 1.3125 1.3125 1.34375 1.34375 1.328125 1.328125 0.01457596 0.01457596 -0.00075086 -0.00075086 0.015625 0.015625 7 7 1.3125 1.3125 1.328125 1.328125 1.3203125 1.3203125 -0.01871061 -0.01871061 0.00096385 0.00096385 0.0078125 0.0078125 8 8 1.3203125 1.3203125 1.328125 1.328125 1.32421875 1.32421875 -0.00212795 -0.00212795 3.9815E-05 3.9815E-05 0.00390625 0.00390625 9 9 1.32421875 1.32421875 1.328125 1.328125 1.32617188 1.32617188 0.00620883 0.00620883 -1.3212E-05 -1.3212E-05 0.00195313 0.00195313 1010 1.32421875 1.32421875 1.32617188 1.32617188 1.32519532 1.32519532 0.00203666 0.00203666 -4.3339E-06 -4.3339E-06 0.00097656 0.00097656
Aunque la convergencia del método está asegurada, ya que en el intervalo debe existir la raíz, ésta es normalmente muy lenta y se necesita un número grande de iteraciones para encontrar una buena aproximación a la raíz. While convergence of the method is assured as in the range must be the root, it is usually very slow and it takes a large number of iterations to find a good approximation to the root.
2.1.2 Método del punto fijo Fixed Point Method
Sea Sea una ecuación algebraica o trascendental. algebraic or transcendental equation. Si sumamos x en ambos miembros tenemos If we add x on both sides have
…( 2.1 ) … (2.1)
Sea Sea (otra función). (Another feature). Sustituyendo en ( 2.1 ) Substituting (2.1)
…( 2.2 ) … (2.2)
Es decir, la raíz de la ecuación se encuentra en la intersección That is, the root of the equation is at the intersection de g ( x ) =x y g ( x )= f ( x ) + x . g (x) = x and g (x) = f (x) + x.
Si x=a es una raíz de x , entonces If x = a is a root of x, then
f ( a ) = 0 f (a) = 0
y al sustituir en la ecuación ( 2.2 ) and substituting in equation (2.2)
a=g ( a ) a = g (a) …( 2.3 ) … (2.3)
El método del punto fijo parte de un valor inicial The fixed point method of an initial value cercano a la raíz near the root

Y luego toma como siguiente aproximación And then take as the next approximation

Al proceder reiteradamente en esta forma, se induce que la n- ésima aproximación es By proceeding in this way consistently, it leads to the n-th approximation is

Para analizar la convergencia del método, retomemos la expresión ( 2.3 ) To analyze the convergence of the method, we return to the expression (2.3)
a=g ( a ) a = g (a)
Restando a ambos miembros Subtracting both members y dado que and since

Multiplicando ambos miembros por Multiplying both sides by
…( 2.4 ) … (2.4)
Por el Teorema del Valor Medio, sabemos que On the Mean Value Theorem, we know that

De manera que al sustituir en ( 2.4 ) So we replace (2.4)

Y Y

En valor absoluto: In absolute terms:

Si If , entonces , Then y obviamente el valor absoluto de la diferencia entre la raíz a y la última aproximación and obviously the absolute value of the difference between the root and the last approximation es menor a la diferencia entre la raíz a y la penúltima aproximación . is less than the difference between the root and the penultimate approximation.
Entonces, si la n- ésima iteración converge: Then, if the n-th iteration converges:

es decir,a

En contraparte, el método es divergente si In contrast, the method is divergent if

Es decir, si That is, if

Ya que la aproximación Since the approximation se aleja más a la raíz a que moves more to the root to . .
Por último, se dice que hay un estancamiento si Finally, it says there is a deadlock if , pues la penúltima aproximación es igual a la última (el método no avanza, pero tampoco se aleja). , For the penultimate approximation is equal to the last (the method does not advance, but neither moves away).
Cabe señalar que los criterios de las derivadas It should be noted that the criteria of the derivatives y and para analizar la convergencia del método son válidos para una iteración y para fines prácticos no es posible aplicarlos en cada una de ellas. to analyze the convergence of the method are valid for one iteration, and for practical purposes it is not possible to apply in each of them. Por esta razón, simplemente se considerará que: existe convergencia si For this reason, just that: there is convergence if , existe divergencia si There is disagreement whether y existe un estancamiento si and there is a deadlock if . . Esto es, el método converge si la diferencia en valor absoluto entre los valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas es cada vez más pequeña a medida que n aumente. That is, the method converges if the absolute difference between the values provided in two successive iterations is becoming smaller as n increases.
En resumen, la interpretación geométrica del método consiste en lo siguiente: partiendo de un valor inicial In summary, the geometric interpretation of the method is as follows: starting from an initial value dirigirse verticalmente a la curva y=g ( x ); de ésta, horizontalmente a la recta y=x ; de nuevo verticalmente a la curva, horizontalmente a la recta, etc. directed vertically to the curve y = g (x) thereof, horizontally to the line y = x, and again the curve vertically, horizontally to the line, etc.
El algoritmo del método es el que sigue: The algorithm of the method is as follows:
1. Escoger una aproximación inicial Choose an initial approximation . .
2. Calcular Calculate y hacer and make . .
Sea n= 1. Let n = 1.
3. Calcular Calculate . .
4. Comparar Compare con with : :
a) Si If , el método converge. The method converges. Ir al paso 5. Go to step 5.
b) Si If , el método diverge. , The method diverges. Se detiene el método y se escoge una nueva aproximación He stops the method and choosing a new approach . .
c) Si If , el método se ha estancado. The method has stalled. Se detiene el método y se escoge una nueva aproximación He stops the method and choosing a new approach . .
Note que en la primera iteración no es posible aplicar aún este criterio, por lo que se omite este paso y se continúa en 5. Note that the first iteration is not yet possible to apply this criterion, so you omit this step and continues in May.
5. Si If =0, se encontró la raíz de la función (fin del método). = 0, found the root of the function (so the method). De lo contrario, ir al paso 6. Otherwise, go to step 6.
6. Sea T Let T la tolerancia deseada (el margen de error aceptado). the desired tolerance (the margin of error). Si If <T se encontró una aproximación a la raíz con un margen de error menor a T (fin del método). <T was found closer to the root with a margin of error of less than T (end method). De lo contrario, ir al paso 3 haciendo n=n+1 . Otherwise, go to step 3 by n = n +1.
Ejemplo. Determina la raíz de la ecuación Example. Determines the root of the equation con el método del punto fijo considerando una tolerancia de 0.001 the fixed point method considering a tolerance of 0.001
Solución. Tenemos Solution. We

Entonces Then
La gráfica de la ecuación muestra que el valor de la raíz es cercano a 0.6, por lo que escogemos la aproximación inicial The graph of the equation shows that the value of the root is close to 0.6, so we choose the initial approximation
Calculamos Estimate

Y tenemos que And we have

Como Like , es decir, no se ha encontrado la raíz y además , Ie has not been found and also the root es mayor a la tolerancia deseada, hacemos una nueva iteración. is greater than the desired tolerance, we make a new iteration.
En la siguiente tabla se resumen los resultados al aplicar el método. The following table summarizes the results by applying the method. Al comparar las diferencias By comparing differences y and se observa que shows that , por lo que se concluye que el método converge. Therefore concluded that the method converges. El método se detuvo en la iteración 11 debido a que The method is stopped at iteration 11 because , por lo que puede concluirse que 0.56748681 es una aproximación al valor de la raíz con un margen de error del 0.1%. , So it can be concluded that 0.56748681 is an approximation to the value of the root with a margin of error of 0.1%.
n n 0 0 0.4 0.4 0.67032005 0.67032005 – – 1 1 0.67032005 0.67032005 0.51154483 0.51154483 0.27032005 0.27032005 2 2 0.51154483 0.51154483 0.59956863 0.59956863 0.15877521 0.15877521 3 3 0.59956863 0.59956863 0.54904843 0.54904843 0.0880238 0.0880238 4 4 0.54904843 0.54904843 0.57749908 0.57749908 0.0505202 0.0505202 5 5 0.57749908 0.57749908 0.56130038 0.56130038 0.02845065 0.02845065 6 6 0.56130038 0.56130038 0.57046676 0.57046676 0.0161987 0.0161987 7 7 0.57046676 0.57046676 0.56526154 0.56526154 0.00916638 0.00916638 8 8 0.56526154 0.56526154 0.56821152 0.56821152 0.00520522 0.00520522 9 9 0.56821152 0.56821152 0.56653778 0.56653778 0.00294998 0.00294998 1010 0.56653778 0.56653778 0.56748681 0.56748681 0.00167374 0.00167374 1111 0.56748681 0.56748681 0.5669485 0.5669485 0.00094903 0.00094903 2.1.3 Método de Newton- Raphson Newton-Raphson Method

Este método parte de una primera aproximación This method is part of a first approximation y mediante la aplicación de una fórmula recursiva se acerca a la raíz de la ecuación, de manera tal que la and by applying a recursive formula is close to the root of the equation, so that nueva aproximación new approach se localiza en la intersección de la tangente a la curva de la función en el punto is located at the intersection of the tangent to the curve of the function at the point y el eje de las abscisas. and the x-axis.

Sabemos que We know that

Y que por definición And that by definition

Es decir Namely

Y entonces And then

Para determinar en qué casos converge este método, se usará el mismo criterio que en el del punto fijo: To determine where this method converges, we will use the same approach as in the fixed point:

Y si para una And if a en el intervalo in the interval se cumple que it holds that

entonces el método converge en la n- ésima iteración. then the method converges in the nth iteration.
Para fines prácticos aplicaremos el mismo criterio de convergencia que en el método del punto fijo. For practical purposes we will apply the same criterion of convergence in the fixed point method.
Aunque el método casi siempre converge a la solución en un número reducido de iteraciones, a continuación se enlistan algunos de los casos de divergencia más comunes: Although the method almost always converges to the solution in a small number of iterations, are listed below some of the most common cases of divergence:
1. Círculo vicioso. Cuando al utilizar Vicious circle. When using se obtiene por la tangente un valor is obtained by the tangent value que al sustituir en la fórmula recursiva regresa al mismo valor that by replacing the recursive formula returns the same value . .
2. Indeterminación . Indeterminacy. Cuando evaluamos la fórmula en un punto donde la función tiene un máximo o un mínimo. When we evaluate the formula at a point where the function has a maximum or minimum.
3. Aparente divergencia . Apparent discrepancy. Cuando la aproximación inicial When the initial approximation está muy alejada del valor real de la raíz, es posible que en las primeras iteraciones el método proporcione valores aparentemente divergentes y, sin embargo, el método conduzca después de algunas iteraciones a la solución. is far from the real value of the root, it is possible that in the first iteration the method and provide apparently divergent values, however, the method would after a few iterations to the solution.
La interpretación geométrica del método de Newton- Raphson es muy similar a la del punto fijo: a partir de una aproximación inicial The geometric interpretation of Newton-Raphson method is very similar to the fixed point: from an initial approximation , se dirige una recta vertical hacia la curva y=f ( x ), se traza una tangente y se toma como , Addresses a vertical line to the curve y = f (x), draw a tangent and is taken as el punto de intersección entra la tangente y el eje de las abscisas; de nuevo, verticalmente a la curva, etc. entering the intersection the tangent and the x-axis, again, vertically to the curve, etc.
El algoritmo del método consiste en: The algorithm of the method is:
1. Calcular Calculate . .
2. Escoger una aproximación inicial Choose an initial approximation . .
Sea n= 0. Let n = 0.
3. Evaluar Assess . .
4. Comparar Compare con with : :
a) Si If , el método converge. The method converges. Ir al paso 5. Go to step 5.
b) Si If , el método diverge, aparentemente. The method differs, apparently. Se detiene el método y se escoge una nueva aproximación He stops the method and choosing a new approach . .
c) Si If , el método se ha estancado. The method has stalled. Se detiene el método y se escoge una nueva aproximación He stops the method and choosing a new approach . .
Note que en la primera iteración no es posible aplicar aún este criterio, por lo que se omite este paso y se continúa en 5. Note that the first iteration is not yet possible to apply this criterion, so you omit this step and continues in May.
5. Si If =0, se encontró la raíz de la función (fin del método). = 0, found the root of the function (end method). De lo contrario, ir al paso 6. Otherwise, go to step 6.
6. Sea T Let T la tolerancia deseada (el margen de error aceptado). the desired tolerance (the margin of error). Si If <T se encontró una aproximación a la raíz con un margen de error menor a T (fin del método). <T was found closer to the root with a margin of error of less than T (end method). De lo contrario, ir al paso 3 haciendo n=n+1 . Otherwise, go to step 3 by n = n +1.
Ejemplo. Obtén una raíz positiva de la siguiente ecuación empleando el método de Newton- Raphson y considerando una tolerancia de 0.001. Example. Get a positive root of the equation using the Newton-Raphson method and considering a tolerance of 0.001.

Solución. Tenemos que Solution. We must

De manera que nuestra fórmula recursiva estará dada por So our recursive formula is given by
En la gráfica puede apreciarse que el valor de la raíz se encuentra en el intervalo [0.2 ,0.8 ] y escogemos 0.2, lo cual no representa inconveniente alguno, pues en ese punto no existe ni un máximo ni un mínimo de la función. The chart can be seen that the value of the root is in the interval [0.2, 0.8] and we choose 0.2, which represents no objection, since at that point there is not a maximum or a minimum of the function.
Evaluamos ahora la fórmula para encontrar el valor de Now evaluate the formula for finding the value of

Cabe señalar que los cálculos de las funciones trigonométricas están dados en radianes. It should be noted that the calculations of the trigonometric functions are given in radians.
Como Like , es decir, no se ha encontrado la raíz y además , Ie has not been found and also the root es mayor a la tolerancia deseada, hacemos una nueva iteración. is greater than the desired tolerance, we make a new iteration.
En la siguiente tabla pueden apreciarse los resultados de cada iteración. In the next chart you will find the results of each iteration. Al comparar las diferencias By comparing differences y and se observa que shows that , por lo que se concluye que el método converge. Therefore concluded that the method converges. El método encontró una aproximación al valor de la raíz en tan sólo cuatro iteraciones 0.53978516, con un margen de error del 0.1%. The method found an approximation to the value of the root in just four iterations 0.53978516, with a margin of error of 0.1%.
n n 0 0 0.2 0.2 0.7387304 0.7387304 -1.61874142 -1.61874142 0.65636097 0.65636097 – – 1 1 0.65636097 0.65636097 -0.34332806 -0.34332806 -3.14824033 -3.14824033 0.54730701 0.54730701 0.45636097 0.45636097 2 2 0.54730701 0.54730701 -0.02073363 -0.02073363 -2.76937066 -2.76937066 0.53982025 0.53982025 0.10905395 0.10905395 3 3 0.53982025 0.53982025 -9.6261E-05 -9.6261E-05 -2.74366205 -2.74366205 0.53978516 0.53978516 0.00748677 0.00748677 4 4 0.53978516 0.53978516 -2.1119E-09 -2.1119E-09 -2.74354166 -2.74354166 0.53978516 0.53978516 3.5085E-05 3.5085E-05
Raíces reales y complejas de un Real and complex roots of a polinomio polynomial
Los métodos vistos hasta el momento The methods seen so far permiten obtener las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. allow to obtain the real roots of algebraic and transcendental equations. Sin embargo, ninguno de ellos permite el cálculo de las raíces complejas de los mismos. However, none of them allow the calculation of the complex roots of the same. Esta sección está dedicada al estudio de dos métodos que permiten obtener las raíces, tanto reales como complejas, de un polinomio. This section is devoted to the study of two methods to obtain the roots, both real and complex, of a polynomial.
Método de Lin Lin Method
Este método en sí mismo no encuentra las raíces del polinomio, sino una expresión de la cual pueden deducirse las raíces. This method is not in itself the roots of the polynomial, but an expression which can be derived roots. La ventaja de este método es que a través de éste pueden obtenerse todas las raíces del polinomio, ya sean reales o complejas. The advantage of this method is that it can be obtained through all the roots of the polynomial, whether real or complex.
El método de Lin consiste en factorizar una ecuación de grado n en un polinomio cuadrático por un polinomio de grado n- 2, de manera que se obtienen las raíces por parejas del factor cuadrático, y se repite el procedimiento en tanto sea necesario. Lin’s method is to factor an equation of degree n in a quadratic polynomial by a polynomial of degree n-2, so that the roots are obtained by pairs of quadratic factor, and the procedure is repeated as necessary.
Sea Sea una ecuación algebraica de la forma an algebraic equation of the form
…( 2.5 ) … (2.5)
Obtengamos un factor cuadrático de la forma Obtain a quadratic of the form factor

Y expresemos nuevamente ( 2.5 ) And again we express (2.5)
…( 2.6 ) … (2.6)
donde where y and son los residuos del polinomio. are the residuals of the polynomial.
Para determinar los coeficientes To determine the coefficients del polinomio reducido efectuamos la multiplicación en ( 2.6 ) we make small polynomial multiplication in (2.6)
…( 2.7 ) … (2.7)
Ahora, igualamos los coeficientes de las mismas potencias en ( 2.5 ) y ( 2.7 ) Now, we equate the coefficients of these powers in (2.5) and (2.7)

Y despejando los coeficientes del polinomio reducido And solving the polynomial coefficients reduced

De manera que los coeficientes del polinomio reducido están dados por So the reduced polynomial coefficients are given by

Y los residuos por And the waste

Para que For sea un factor del polinomio P ( x ) es necesario que is a factor of the polynomial P (x) is necessary y and sean iguales a cero are equal to zero
…( 2.8 ) … (2.8)
Despejando a p y q de ( 2.8 ): Solving for p and q (2.8)
…( 2.9 ) … (2.9)
Si se conocen los valores de p y q podemos calcular los coeficientes If you know the values of p and q we can calculate the coefficients del polinomio reducido. reduced polynomial.
A partir de valores iniciales para p y q y mediante un proceso iterativo se determinan estos valores con la precisión que se requiera. From initial values for p and q and through an iterative process these values are determined with the precision required. Para ello, se definen los incrementos To this end, we define the increments y and : :
…( 2.10 ) … (2.10)
Donde p* y q* son las nuevas aproximaciones de p y q , respectivamente, y están dadas por ( 2.9 ) Where p * and q * are the new approaches p and q, respectively, and are given by (2.9)
…( 2.11 ) … (2.11)
Sustituyendo ( 2.11 ) en ( 2.10 ) Substituting (2.11) in (2.10)

O sea So

Esto es Namely

El método converge cuando The method converges when , , , , y and tienden a cero, y para cualquiera de ellos se puede fijar la tolerancia en el error. tend to zero, and for any of them can fix the error tolerance.
Note que si Note that if no es posible aplicar el método. is not possible to apply the method.
El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos: The algorithm of the method consists of the following steps:
1. Hacer p=q= 0. Make p = q = 0.
2. Calcular los coeficientes del polinomio reducido Calculate the polynomial coefficients reduced

Y los residuos And waste

3. Verificar que Verify y calcular las nuevas aproximaciones de p y q and calculate the new p and q approaches

Si If se concluye que no es posible aplicar el método para resolverle polinomio en cuestión. concluded that it is not possible to apply the method to solve polynomial in question.
4. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Let T be the desired tolerance (the maximum permissible error). Si If <T <T y and <T se han encontrado aproximaciones a los valores de p y q con un margen de error menor a T (fin del método). <T found approximations to the values of p and q with a margin of error of less than T (end method). De lo contrario es necesario hacer una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q* . Otherwise it is necessary to make a new iteration starting at step 2 by p = p * and q = q *.
Ejemplo. Obtén una aproximación a las raíces del siguiente polinomio aplicando el método de Lin considerando una tolerancia de 0.01 en los valores de p y q y redondeo a tres cifras significativas: Example. Get an approximation to the roots of the next polynomial using the method of Lin considering a tolerance of 0.01 in the values of p and q and rounding to three significant figures:

Solución. Tenemos que Solution. We must

Sean p=q= 0 los valores iniciales. Let p = q = 0 baseline.
Los coeficientes del polinomio reducido están dados por The reduced polynomial coefficients are given by

los residuos, por waste, by

Como Like , puede aplicarse el método y las nuevas aproximaciones son , The method can be applied and new approaches are

Tenemos entonces que We then =0.5 y que = 0.5 and =0.667 y es necesario que ambos valores sean menores a 0.01, por lo que es necesario hacer una nueva iteración. = 0667 and it is necessary that these values are lower than 0.01, so it is necessary to make a new iteration.
Los resultados de cada iteración se resumen en la siguiente tabla: The results of each iteration are summarized in the following table:
i i 0 0 1 1 -1 -1 6 6 -3 -3 4 4 -0.5 -0.5 0.667 0667 0.5 0.5 0.667 0667 1 1 1 1 -0.5 -0.5 5.08 5.8 -0.127 -0127 0.612 0612 -0.525 -0525 0.787 0787 0.025 0025 0.12 0.12 2 2 1 1 -0.475 -0475 4.96 4.96 -0.0222 -0.0222 0.0965 0.0965 -0.529 -0529 0.806 0806 0.004 0004 0.019 0019 3 3 1 1 -0.471 -0471 4.94 4.94 -0.00711 -0.00711 0.0184 0.0184 -0.530 -0530 0.810 0810 0.001 0001 0.004 0.004
El polinomio The polynomial puede expresarse entonces como can then be expressed as

Como se alcanzó la tolerancia deseada, asumimos que el residuo se puede despreciar, y tenemos que As it reached the desired tolerance, we assume that the residue can be neglected, and we have

De donde puede concluirse que las raíces del polinomio son Where it can be concluded that the roots of the polynomial are

Método de Bairstow Bairstow Method
Este método depende de dividir el polinomio entre un factor cuadrático. This method relies on dividing by a factor quadratic polynomial. Sea P ( x )=0, el polinomio general de grado n de la forma Let P (x) = 0, the general polynomial of degree n of the form

Sabemos que al obtener el factor cuadrático We know that to get the quadratic factor

tenemos que we have

Al igual que en el método de Lin , podemos concluir que As in the method of Lin, we conclude that

y que los coeficientes del polinomio reducido están dados por and reduced the polynomial coefficients are given by

y los residuos por and waste

Bairstow estudió la posibilidad de encontrar aproximaciones de los residuos Bairstow studied the possibility of finding approximations of waste y and a través de una serie de Taylor para las variables independientes through a Taylor series for the independent variables y and : :

Igualando a cero tenemos Equating to zero we
De esta forma, pueden calcularse los valores de In this way, one can calculate the values of y and al resolver el sistema de ecuaciones lineales y, consecuentemente, obtener los valores de las nuevas aproximaciones to solve the system of linear equations and, consequently, get the value of new approaches y and . .
El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos: The algorithm of the method consists of the following steps:
1. Hacer p=q= 0. Make p = q = 0.
2. Calcular los coeficientes del polinomio reducido Calculate the polynomial coefficients reduced

Y los residuos And waste
3. Calcular las derivadas parciales de los residuos Calculate the partial derivatives of waste y and : :

4. Resolver el sistema Solve the system

5. Obtener los valores de las nuevas aproximaciones Get the values of the new approaches y and . .
6. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Let T be the desired tolerance (the maximum permissible error). Si If <T <T y and <T se han encontrado aproximaciones a los valores de p y q con un margen de error menor a T (fin del método). <T found approximations to the values of p and q with a margin of error of less than T (end method). De lo contrario es necesario hacer una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q* . Otherwise it is necessary to make a new iteration starting at step 2 by p = p * and q = q *.
Ejemplo. Obtén una aproximación a las raíces del siguiente polinomio aplicando el método de Bairstow considerando una tolerancia de 0.01 en los valores de p y q y redondeo a tres cifras significativas: Example. Get an approximation to the roots of the next polynomial using Bairstow’s method considering a tolerance of 0.01 in the values of p and q and rounding to three significant figures:

Solución. Tenemos que Solution. We must

Sean p=q= 0 los valores iniciales. Let p = q = 0 baseline.
Los coeficientes del polinomio reducido están dados por The reduced polynomial coefficients are given by

los residuos, por waste, by

y las derivadas parciales, por and the partial derivatives by

Resolviendo el sistema Solving the system

tenemos que we have y and . . Entonces Then y and
Se observa que It is noted that =0.389 y que = 0.389 and =0.667 y es necesario que ambos valores sean menores a 0.01, por lo que es necesario hacer una nueva iteración. = 0667 and it is necessary that these values are lower than 0.01, so it is necessary to make a new iteration.
Los resultados de cada iteración se resumen en la siguiente tabla: The results of each iteration are summarized in the following table:
i i 0 0 1 1 -1 -1 6 6 -3 -3 4 4 -0.389 -0389 0.667 0667 0.389 0389 0.667 0667 1 1 1 1 -0.611 -0611 5.10 5.10 -0.609 -0609 0.598 0598 -0.368 -0368 0.784 0784 0.021 0021 0.117 0117 2 2 1 1 -0.632 -0632 4.98 4.98 -0.672 -0672 0.0957 0.0957 -0.501 -0501 0.765 0765 0.133 0133 0.019 0019 3 3 1 1 -0.499 -0499 4.99 4.99 -0.118 -0118 0.183 0183 -0.521 -0521 0.802 0802 0.02 0.02 0.037 0037 4 4 1 1 -0.479 -0479 4.95 4.95 -0.0369 -0.0369 0.0301 0.0301 -0.528 -0528 0.808 0808 0.007 0007 0.006 0006
El polinomio The polynomial puede expresarse entonces como can then be expressed as

Como se alcanzó la tolerancia deseada, asumimos que el residuo se puede despreciar, y tenemos que As it reached the desired tolerance, we assume that the residue can be neglected, and we have

De donde puede concluirse que las raíces del polinomio son Where it can be concluded that the roots of the polynomial are

Bibliografía Bibliography
* Akai Terrence J., Métodos numéricos aplicados a la ingeniería . Terrence J. Akai, numerical methods applied to engineering. México, Limusa Wiley , 2004. Mexico, Limusa Wiley, 2004.
* Burden Richard L. & Faires J. Douglas , Análisis numérico . 2ª. ed ., México, Grupo Editorial Iberoamérica , 1993. Richard L. Burden & J. Douglas Faires, Numerical Analysis. 2nd. Ed., Mexico, Grupo Editorial Iberoamérica, 1993.
* Chapra Steven C. Steven C. Chapra & Canale Raymond P., Métodos numéricos para ingenieros . 4ª. & Raymond P. Canale, Numerical methods for engineers. 4th. ed., México, McGraw-Hill, 2003. ed., Mexico, McGraw-Hill, 2003.
* Iriarte R. R. Iriarte & Balderrama V., Métodos numéricos . México, Facultad de Ingeniería UNAM ., Trillas, 1990. & V. Balderrama, numerical methods. Mexico, UNAM Faculty of Engineering., Trillas, 1990.

Texto original en español:
Unidad 2
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